Il limite della somma di una serie è uguale alla somma della serie dei limiti?

Novembre 6th, 2021 | by Marcello Colozzo |

somma di una serie,limite della somma di una serie di funzioni
Fig. 1

Esercizio
Studiare la convergenza in [0,1] della serie di funzioni:


È lecito scrivere

Soluzione

Poniamo


da cui la somma parziale di ordine N

Cioè

Per rimuovere la forma indeterminata 0·oo, esplicitiamo la somma parziale nel punto x=0:


Alternativamente

Ne consegue la convergenza della serie in [0,1]

Cioè la somma f(x) ha una discontinuità di prima specie in x=0, giacché

Studiamo il tipo di convergenza (uniforme o puntiforme). Deve essere

In particolare

Cioè

Segue

per cui la convergenza puntuale. In fig. 1 il grafico della somma f(x) e delle prime 15 somme parziali.

La risposta al secondo quesito è negativa, anche se poi dobbiamo rammentare che la convergenza uniforme è una condizione sufficiente ma non necessaria affinché il limite della somma della serie sia uguale alla somma della serie dei limiti delle singole funzioni (Teorema del limite).

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio