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Teorema di derivazione per serie

Novembre 7th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Sia data la serie di funzioni

che supponiamo convergente nell'intervallo X con somma f(x), assumendo ivi derivabili le singole funzioni f_{n}(x). Ci poniamo le seguenti domande: 1) La somma f(x) è derivabile in X? 2) La serie delle derivate Σ_nf'_n(x) è convergente in X? E in caso affermativo, possiamo asserire che la sua somma è la derivata f'(x) della funzione f(x)? Cioè la domanda è

In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio di questa serie dove

da cui le somme parziali

Quindi nel caso in esame la relazione scritta più sopra non è verificata in x=0, in quanto la somma non è ivi derivabile. Dimostriamo, ora, il teorema enunciato in fig. 1.

Per un assegnato x₀ in X preso ad arbitrio, poniamo X₀=X\{x₀}, per cui proviamo l'uniforme convergenza dei rapporti incrementali delle singole funzioni:

A tale scopo applichiamo il criterio generale di convergenza, valutando per assegnati interi n,p presi ad arbitrio

Senza perdita di generalità, supponiamo x₀ < x. Per il teorema di Lagrange:
Ma la serie dellel derivate è per ipotesi uniformemente convergente, per cui

Dall'equazione scritta più sopra

i.e. la serie

è uniformemente convergente in X. Passiamo al limite del rapporto incrementale della somma f(x):

Per il teorema del limite

onde l'asserto.

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