» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Serie di funzioni non uniformemente convergente, ma con somma continua

mercoledì, Novembre 10th, 2021

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Il seguente esercizio mosta la sufficienza e non la necessità della uniforme convergenza di una serie affinché la somma sia un funzione continua, come stabilito dal teorema della continuità.
Poniamo

che sono manifestamente continue in (-oo,+oo). In fig.

il grafico di alcune di tali funzioni. La somma parziale di ordine 1 è banalmente

Allo scopo di ottenere un'espressione valida per ogni ordine N, decomponiamo il secondo membro in frazioni semplici:

che restituisce il sistema di equazioni lineari

che ammette l'unica soluzione

Con ovvio significato dei simboli

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Convergenza totale di una serie di funzioni

martedì, Novembre 9th, 2021

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Sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) in X (sottoinsieme di R).
Definizione

1. ogni funzione f_n(x) è limitata in X;
2. Σ_nΛ_n converge, essendo Λ_n l'estremo superiore di |f_n(x)| in X. Cioè
   

diremo che la serie assegnata è totalmente convergente in X.

Ad esempio consideriamo in (-oo,+oo)

per cui

avendosi

Ne segue la totale convergenza della serie

Nel grafico di fig. 1 riportiamo l'andamento della somma (calcolata con Mathematica.

Dimostriamo ora un importante teorema secondo cui la convergenza totale è una condizione più forte della convergenza uniforme.
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