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Il limite della somma di una serie è uguale alla somma della serie dei limiti?

sabato, Novembre 6th, 2021

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Esercizio
Studiare la convergenza in [0,1] della serie di funzioni:

È lecito scrivere

Soluzione

Poniamo

da cui la somma parziale di ordine N

Cioè

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Teorema del limite e teorema della continuità per le serie di funzioni

venerdì, Novembre 5th, 2021

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Consideriamo in X (sottoinsieme di R) la serie di funzioni

tali che per un assegnato punto di accumulazione x₀ (al finito o all'infinito) per X, riesca:

Se la predetta serie è convergente in X e ha somma f(x), ci si può porre le seguenti questioni:

o ciò che è lo stesso

Cioè se è lecito commutare l'operatore limite con l'operatore "somma infinita". Verifichiamo con un paio di esempi. Siano date le funzioni

La somma parziale di ordine N è:

Ciò implica

Ne consegue che la serie converge in [0,1):

come mostrato nel grafico di fig. 1 ove riportiamo l'andamento di alcune somme parziali. Risulta inoltre:

da cui la non convergenza della serie numerica

in quanto indeterminata. D'altra parte:

per cui questo esempio mostra quanto asserito in precedenza. Se poi prendiamo l'esempio della lezione precedente, si ha:

Ma

per cui la serie dei limiti non converge al limite della somma della serie di funzioni.
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