[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Göhl (parte quinta)

Aprile 24th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Nel post precedente abbiamo stabilito il seguente risultato per quanto riguarda il contributo alla funzione di distribuzione dei numeri primi π0 in grado di riprodurre l'andamento a gradini. Precisamente:

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ove

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Dimostriamo ora che il secondo membro di tale espressione è una grandezza reale. A tale scopo poniamo:
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essendo
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Dalla definizione dell'esponenziale integrale:
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Segue

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Quindi

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Per studiare il comportamento dei singoli termini Tn(x), consideriamo l'espansione esatta:

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Ricordiamo che Tn(x) è il generico termine di una serie di funzioni uniformemente convergente:
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cioè la funzione vista all'inizio, ma senza il pedice N, giacché ora è N->+oo. La funzione H(x) riproduce le discontinuità della funzione di distribuzione
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Rammentiamo che
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esprimibile come somma della serie di Gram:
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La funzione G(x) è un ulteriore contributo alla "parte continua" di π0(x):
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Per un assegnato n

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Cioè a sua volta, il generico termine Tn(x) è la somma di una serie di funzioni, il cui termine generico è
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mentre i coefficienti di Möbius:
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Scriviamo lo zero n-esimo della zeta di Riemann come:

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dove
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Segue
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Studiamo tali funzioni per δn=0 (cioè diamo per vera la congettura di Riemann Dal momento che gli zeri della zeta di Riemann sono built-in in Mathematica, riscriviamo:
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che dovrà comunque essere troncata a un dato N0 ed avevamo posto N0=154. Segue che il calcolo di un singolo termine Tn(x) richiede la computazione via software di 154 funzioni di questo tipo. Dall'articolo di Rieseel e Göhl si ha:
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da cui l'espressione approssimata
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Esplicitando ρn:
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Se al denominatore del secondo membro dell'espressione scritta più sopra esprimiamo il numero complesso ρn in forma polare:
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si ha
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Prendendo la parte reale del secondo membro, otteniamo:
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a cui corrisponde la seguente relazione approssimata per il termine n-esimo:
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da cui vediamo che il contributo dominante ai termini Tn(x) proviene dai primi zeri ρn:
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Dalla espressione approssimata vediamo che le funzioni ψk,n(x) hanno un comportamento oscillante a causa della presenza della funzione coseno. Riprendendo l'espressione esatta delle predette funzioni vediamo la presenza di una singolarità in x=1:

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Di seguito alcuni grafici di tali funzioni:
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