[¯|¯] La funzione esponenziale integrale nel campo complesso

Aprile 19th, 2017 | by Marcello Colozzo |

esponenziale integrale,campo complesso,integrale curvilineo,forma differenziale lineare
Fig. 1

Per estendere l'esponenziale integrale al campo complesso, è preferibile rammentare la nozione di integrale complesso. A tale scopo consideriamo una funzione f(z) della variabile complessa z=x+iy, che assumiamo continua in un campo connesso A del piano xy. Se z0,z1 appartengono al campo A, denotiamo con γ(z0,z1) un assegnato arco di curva generalmente regolare di estremi z0 e z1.
Definizione
Si dice integrale complesso della f(z) esteso a γ nel verso da z0 a z2, l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare

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esteso all'arco γ da da P0(x0,y0) a P1(x1,y1), essendo z0=x0+iy0,z1=x1+iy1. In simboli:

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Se γ ha la seguente rappresentazione parametrica regolare
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segue dalla definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale lineare:

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Ciò premesso, riprendiamo l'espressione dell'esponenziale integrale scrivendo:

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dove è sottointesa la parte principale di Cauchy. Dal momento che un integrale definito (e generalizzato) è il caso particolare di un integrale curvilineo esteso a un segmento appartenente all'asse x, possiamo scrivere:

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Cioè Ei(x) è l'integrale curvilieno della forma differenziale lineare X(ξ)dξ con

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esteso al segmento dell'asse x di rappresentazione parametrica

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onde

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come deve essere, in virtù della definizione di integrale curvilineo. Questa caratterizzazione formale della Ei(x) suggerisce la seguente estensione al campo complesso:
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dove z=x+iy,w=ξ+iη, mentre il cammino di integrazione γ ha la seguente rappresentazione parametrica
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come illustrato in figura:
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In fig. 1 è riportato un ContourPlot elaborato con Mathematica

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