[¯|¯] La funzione esponenziale integrale nel campo complesso |

[¯|¯] La funzione esponenziale integrale nel campo complesso

Aprile 19th, 2017 | by Marcello Colozzo |

esponenziale integrale,campo complesso,integrale curvilineo,forma differenziale lineare — **Fig. 1**

Per estendere l'esponenziale integrale al campo complesso, è preferibile rammentare la nozione di integrale complesso. A tale scopo consideriamo una funzione f(z) della variabile complessa z=x+iy, che assumiamo continua in un campo connesso A del piano xy. Se z₀,z₁ appartengono al campo A, denotiamo con γ(z₀,z₁) un assegnato arco di curva generalmente regolare di estremi z₀ e z₁.
Definizione
Si dice integrale complesso della f(z) esteso a γ nel verso da z₀ a z₂, l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare

esteso all'arco γ da da P₀(x₀,y₀) a P₁(x₁,y₁), essendo z₀=x₀+iy₀,z₁=x₁+iy₁. In simboli:

Se γ ha la seguente rappresentazione parametrica regolare
esponenziale integrale,campo complesso,integrale curvilineo,forma differenziale lineare

segue dalla definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale lineare:

Ciò premesso, riprendiamo l'espressione dell'esponenziale integrale scrivendo:

dove è sottointesa la parte principale di Cauchy. Dal momento che un integrale definito (e generalizzato) è il caso particolare di un integrale curvilineo esteso a un segmento appartenente all'asse x, possiamo scrivere:

Cioè Ei(x) è l'integrale curvilieno della forma differenziale lineare X(ξ)dξ con

esteso al segmento dell'asse x di rappresentazione parametrica

onde

come deve essere, in virtù della definizione di integrale curvilineo. Questa caratterizzazione formale della Ei(x) suggerisce la seguente estensione al campo complesso:
esponenziale integrale,campo complesso,integrale curvilineo,forma differenziale lineare

dove z=x+iy,w=ξ+iη, mentre il cammino di integrazione γ ha la seguente rappresentazione parametrica
esponenziale integrale,campo complesso,integrale curvilineo,forma differenziale lineare