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Divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi

lunedì, Settembre 20th, 2021

numeri primi,serie
Fig. 1

Denotando con pn l'n-esimo primo, dimostriamo:
Proposizione


Dimostrazione

Approssimiamo la somma parziale di ordine N della serie a un integrale, in quanto più maneggevole:


da cui l'asserto

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Riemann era al corrente del lavoro di Chebyschev sui numeri primi

lunedì, Settembre 20th, 2021

numeri primi,riemann,chebyschev
Fig. 1

Come è consuetudine, denotiamo con π(x) il numero di numeri primi in [0,x]. Tale funzione è built-in in Mathematica e si denota con PrimePi. Gauss stabilì che la densità dei numeri primi è approssimativamente:


per cui

Costruiamo la seguente tabella:

Nel 1850 Chebyschev dimostrò che nell'approssimazione:

l'errore relativo è non superiore dell'11% per x»1. Più precisamente

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