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[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Göhl (parte quinta)

lunedì, Aprile 24th, 2017

Nel post precedente abbiamo stabilito il seguente risultato per quanto riguarda il contributo alla funzione di distribuzione dei numeri primi π₀ in grado di riprodurre l'andamento a gradini. Precisamente:

ove

Dimostriamo ora che il secondo membro di tale espressione è una grandezza reale. A tale scopo poniamo:

essendo

Dalla definizione dell'esponenziale integrale:

Segue

Quindi

Per studiare il comportamento dei singoli termini T_n(x), consideriamo l'espansione esatta:

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[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte terza)

venerdì, Aprile 21st, 2017

Passiamo ora al contributo proveniente da

rammentando che Ei è l'esponenziale integrale, mentre ρ sono gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Iniziamo con il dimostrare la proposizione:
Proposizione

Dimostrazione
Nel campo reale

Esplicitiamo

eseguendo il cambio di variabile

mentre gli estremi di integrazione diventano:

da cui

c.d.d.
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