[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Göhl (parte quinta)

lunedì, Aprile 24th, 2017

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Nel post precedente abbiamo stabilito il seguente risultato per quanto riguarda il contributo alla funzione di distribuzione dei numeri primi π0 in grado di riprodurre l'andamento a gradini. Precisamente:

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ove

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Dimostriamo ora che il secondo membro di tale espressione è una grandezza reale. A tale scopo poniamo:
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essendo
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Dalla definizione dell'esponenziale integrale:
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Segue

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Quindi

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Per studiare il comportamento dei singoli termini Tn(x), consideriamo l'espansione esatta:

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[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte terza)

venerdì, Aprile 21st, 2017

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Passiamo ora al contributo proveniente da

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rammentando che Ei è l'esponenziale integrale, mentre ρ sono gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Iniziamo con il dimostrare la proposizione:
Proposizione
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Dimostrazione
Nel campo reale
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Esplicitiamo

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eseguendo il cambio di variabile

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mentre gli estremi di integrazione diventano:

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da cui
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c.d.d.
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