[¯|¯] Rappresentazione parametrica regolare

Marzo 27th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Definizione
Una rappresentazione parametrica

si dice regolare se:

La condizione 1 richiede la continuità della funzione vettoriale x(t) e della sua derivata prima. La condizione 2, invece, implica l'assenza di zeri al finito della derivata prima. Risulta manifestamente:

In altri termini, la condizione 2 ci dice che le derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) non si annullano mai per lo stesso valore del parametro t.

Ad esempio, consideriamo in R² la rappresentazione parametrica:

il cui codominio è la semicirconferenza Γ di centro l'origine e raggio unitario. Manifestamente x(t) è un elemento di C^oo}(X), per cui la condizione 1 è abbondantemente verificata. Anche la condizione 2 è soddisfatta. Infatti, la derivata prima della funzione vettoriale x(t) è:

onde

Ne consegue la regolarità della rappresentazione parametrica assegnata. Anticipiamo per ora che tale regolarità ci consente di tracciare la retta tangente a Γ in un suo generico punto come mostrato nell'animazione grafica di fig. 1.

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Indice delle lezioni

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