Esercizio 5. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

curva,retta tangente,forma implicita — **Fig. 1**

Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

Si noti che la funzione F(x,y) non è definita sull'asse y, mentre le derivate parziali rispetto alle variabili x e y, sono ivi definite con esclusione dell'origine (0,0). Ne segue che dobbiamo escludere dalle eventuali soluzioni i punti dell'asse y. Risolvendo con Mathematica otteniamo i seguenti punti singolari:

Per classificarli dobbiamo valutare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

Segue

per cui i predetti punti sono nodi (punti doppi). Sfortunatamente non è possibile tracciare la curva via software. Ne possiamo avere un'idea da come il grafico z=F(x,y) interseca il piano z=0 (fig. 1).
(altro…)

Posted in Geometria analitica, Geometria differenziale, Geometria II | No Comments »

Esercizio 4. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

che è privo di soluzioni, per cui la curva è regolare. In fig. 1 è tracciato l'andamento della curva. Si noti che abbiamo disegnato con Mathematica, le curve di livello della funzione F(x,y), e la curva assegnata è la curva di livello 0.

(altro…)