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[¯|¯] Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare

Marzo 27th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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L'asserzione secondo cui una delle condizioni affinché una curva sia dotata di retta tangente è data dal non annullarsi simultaneo delle derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) che compongono una sua rappresentazione parametrica, è facilmente confutabile. Per essere più precisi, tale condizione è sufficiente ma non necessaria, come mostra l'animazione grafica di fig. 1 da cui è visibile la retta tangente a una curva piana la cui rappresentazione parametrica è non regolare in forza dell'annullarsi simultaneo delle derivate di x(t) e y(t) per t=0.
Per dimostrare ciò in maniera rigorosa premettiamo una definizione e la dimostrazione di un importante teorema.
Definizione
Una curva semplice è il codominio di una rappresentazione parametrica iniettiva:

dove

Utilizzando un linguaggio impreciso ma efficace, possiamo dire che una curva semplice "non si intreccia". Più rigorosamente, una curva semplice è priva di punti multipli.

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema
Comunque prendiamo una rappresentazione parametrica regolare e iniettiva:

la derivata

definisce un vettore tangente nel generico punto di Γ=x(X).

Dimostrazione
Preso ad arbitrio t₀ in X, sia P₀[x(t₀),y(t₀),z(t₀)] il corrispondente punto della curva Γ. Se Δt è un incremento di t₀ tale

resta definito il punto P [x(t₀+Δt),y(t₀+Δt),z(t₀+Δt)] di Γ. Per ipotesi la curva è semplice, onde:

Consideriamo quindi la retta s₀ passante per P₀,P. Chiamiamo s₀ retta secante a Γ per i punti P₀,P. Una terna di numeri direttori di s₀ è:

dividendo per Δt (diverso da zero), otteniamo una nuova terna di numeri direttori di s₀:

ovvero le componenti del vettore w parallelo a s₀:

Quindi s₀ è la retta per x(t₀) e parallela a w, e la sua equazione nella forma dei rapporti uguali si scive:

Se Δt->0, il punto P tende a P₀ e la retta s₀ ruota attorno a P₀ per tendere ad una posizione limite che indichiamo con τ₀, come illustrato in figura:

Simbolicamente:

Pertanto, l'equazione di τ₀ si ottiene eseguendo l'operazione di passaggio al limite per Δt->0. Tenendo conto di:

otteniamo

Una rappresentazione parametrica di τ₀ è:

che in forma vettoriale si scrive:

dove

è un vettore tangente a Γ nel punto P₀, mentre x₀=x(t₀). Resta dunque definito il campo vettoriale tangente:

c.d.d.
Dal teorema appena dimostrato segue che la condizione 2 di regolarità

è una condizione sufficiente per l'esistenza della retta tangente a una curva semplice Γ=x(X). Peraltro, tale condizione non è necessaria. Ad esempio, sia data in R² la rappresentazione parametrica

che è iniettiva ma non regolare, giacché:

Se Γ è il codominio di tale rappresentazione, si ha che la sua equazione in coordinate cartesiane è:

Cioè Γ è il grafico della restrizione della funzionee

all'intervallo [0,π²]. La derivata prima di f(x) è:

per cui la retta tangente τ₀ a Γ nel generico punto P₀(x₀,f(x₀)) ha equazione:

Cioè

giacché il coefficiente angolare di τ₀ è

Dalla violazione della condizione di regolarità

segue che la retta tangente non sembra definita in t₀=0, cioè nel punto x=y=0. Tuttavia, eseguendo l'operazione di passaggio al limite:

per cui la retta tangente a Γ nell'origine ha equazione

come mostrato nel grafico seguente:

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Tags: curva, derivata, rappresentazione parametrica regolare, retta tangente

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