[¯|¯] Infinitesimo di ordine non inferiore [superiore] rispetto ad un altro infinitesimo

Febbraio 22nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 2

Esempio 1
Siano dati gli infinitesimi (per x->0):

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Il rapporto è non regolare
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Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:

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Tuttavia

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Ne consegue che f(x)=xsin(1/x) è (in x=0) un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x)=x. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.

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Fig. 1. Grafico delle funzioni f(x)=xsin(1/x) e g(x)=xsin²(1/x) entrambe infinitesime per x->0. Il rapporto |f(x)|/|g(x)| è limitato inferiormente ma non superiormente, per cui f(x) è di ordine non superiore a g(x).


Esempio 2
Siano

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Si tratta di infinitesimi in x=0. Il primo limite è ben noto:
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Il secondo è meno immediato, ma facilmente dimostrabile applicando il teorema dei carabinieri:
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Confrontiamo i due infinitesimi eseguendo il rapporto:

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Ma

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Ne consegue che f(x)=xsin(1/x) è (in x=0) un infinitesimo di ordine non superiore a g(x)=xsin²(1/x). In fig. 1riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.








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