Confronto tra infinitesimi (teorema)

mercoledì, Novembre 11th, 2020

Sviluppando queste questo post, sembra necessario imporre la continuità della derivata seconda. In questo modo, applicando il noto teorema di De L'Hospital si rimuove la forma indeterminata 0/0 pervenendo a un limite che è finito se la derivata seconda è non nulla nel punto di accumulazione ξ (zero di f(x)) che stiamo considerando. Diversamente, il limite è infinito. Ciò implica che nel primo caso f(x)^1/2 e f'(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, mentre nel secondo caso la derivata f'(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a f(x)^1/2.

(altro…)

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

Confronto tra infinitesimi

mercoledì, Novembre 11th, 2020

Il teorema enunciato in questo post, va rivisto in quanto è stato trovato un controesempio.

Un ulteriore controesempio potrebbe essere dato dalla funzione f(x)=x^2*sin(1/x)^2 per x in un qualunque compatto [-a,a] incluso x=0 in quanto la funzione è ivi continua. Inoltre, la funzione è derivabile in x=0 anche se questo punto è una singolarità per la derivata prima (abbiamo già trattato questo problema). Qui il problema che si apre è che la derivata non è un infinitesimo in x=0 per la predetta non regolarità in tale punto. Le altre ipotesi del teorema sono verificate, e cioè f(x) non negativa e derivata nulla in x=0. Il teorema va corretto aggiungendo che la derivata seconda non deve annullarsi in x=0 e che la derivata prima deve essere ovunque in continua. In altri termini, f è di classe C^1.

Scarica il controesempio in pdf

Indice delle lezioni/esercizi