[¯|¯] Infinitesimi ed infiniti (Lezione 2)

Febbraio 21st, 2017 | by Marcello Colozzo |

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili — **Fig. 1**

Un esempio immediato per ciò che riguarda la confrontabilità di infinitesimi è offerto dalla coppia di limiti fondamentali:

Ne consegue che sin x e x sono (per x->0) infinitesimi dello stesso ordine. Anzi, quando il limite del rapporto è 1, gli infinitesimi si dicono equivalenti:

mentre 1-cos x è un infinitesimo di ordine superiore a x. Tali risultati hanno una notevole interpretazione geometrica che può essere dedotta dall'esame della fig. 1. Dal momento che 2*sin x è la lunghezza della corda PP' sottesa dall'arco di estremi P e P' (la cui lunghezza è 2x), si ha che per x->0 la lunghezza della corda è un infinitesimo dello stesso ordine della lunghezza dell'arco. Diversamente, 1-cos x è la lunghezza della "freccia" QA dell'arco di estremi P e P' e per quanto precede, è un infinitesimo di ordine superiore a x (per x->0). In parole povere, mentre la lunghezza della corda tende a zero con la stessa rapidità con cui si annulla la lunghezza dell'arco, la lunghezza della freccia va a zero più rapidamente.

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