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[¯|¯] Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine

Febbraio 22nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Se x₀ è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme

che si identifica con la classe degli infiniti in x₀.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infiniti della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

Si presentano i seguenti casi:

1. Il rapporto è un infinitesimo:
   
   Significa che |g(x)| tende a +oo più rapidamente di |f(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x)..
2. Il rapporto è un infinito:
   
   Significa che |f(x)| tende +oo più rapidamente di |g(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
   
   Significa che |f(x)| e |g(x)| tendono a +8 con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
4. Il rapporto è non regolare
   
   Esempio 1
   Siano
   
   infinitesimi della classe J(0). Abbiamo
   
   e tale limite non esiste.
   
   
   
   
   
   
   
   

   In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto |f(x)|/|g(x)|, calcolando:
   

   
   per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi:
   • 
     Qui f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
   • 
     e diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x).
   • Il rapporto|f(x)|/|g(x)| è non regolare
     
     ma è definitivamente limitato (intorno a x₀) tra due numeri positivi:
     
     In tale circostanza diremo che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.

In tutti i casi esaminati gli infiniti assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabili se si verifica la negazione della condizione precedente i.e. il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è definitivamente limitato intorno a x0:

Fa eccezione il seguente caso:

Cioè se il rapporto |f(x)|/|g(x)| ha, intorno a x0, per estremo inferiore lo zero ed è limitato superiormente. In tale circostanza si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x). In maniera simile:

ovvero il rapporto |f(x)|/|g(x)| è definitivamente limitato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f(x) è un infinitesimo di ordine non superiore a g(x).

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