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[¯|¯] Rappresentazione parametrica regolare

Marzo 27th, 2017 | by Marcello Colozzo |

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente

Fig. 1.


Definizione
Una rappresentazione parametrica
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si dice regolare se:
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La condizione 1 richiede la continuità della funzione vettoriale x(t) e della sua derivata prima. La condizione 2, invece, implica l'assenza di zeri al finito della derivata prima. Risulta manifestamente:

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In altri termini, la condizione 2 ci dice che le derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) non si annullano mai per lo stesso valore del parametro t.









Ad esempio, consideriamo in R² la rappresentazione parametrica:

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il cui codominio è la semicirconferenza Γ di centro l'origine e raggio unitario. Manifestamente x(t) è un elemento di Coo}(X), per cui la condizione 1 è abbondantemente verificata. Anche la condizione 2 è soddisfatta. Infatti, la derivata prima della funzione vettoriale x(t) è:

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onde

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Ne consegue la regolarità della rappresentazione parametrica assegnata. Anticipiamo per ora che tale regolarità ci consente di tracciare la retta tangente a Γ in un suo generico punto come mostrato nell'animazione grafica di fig. 1.










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