Teorema di Lagrange (stabilità secondo Lyapunov)

mercoledì, Novembre 18th, 2020

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Per studiare la stabilità di un punto di equilibrio bisogna innanzitutto ricercare tali punti che per quanto visto, sono tutti e soli i punti critici dell'energia E(x,y), ovvero i punti estremali della funzione energia potenziale V(x). Per poter applicare questa definizione dobbiamo conoscere la soluzione (x(t),y(t)) del sistema per assegnate condizioni iniziali. Ciò è possibile solo nei casi più semplici ossia in quelli in cui il predetto sistema di equazioni differenziali è integrabile per quadrature, come nell'esempio dell'oscillatore armonico. In generale, è necessario un criterio di stbilità che non richiede l'integrazione del suddetto sistema. Nel 1644 Torricelli sapeva che la posizione di un sistema di corpi sottoposto alla gravità sarebbe stata stabile se il centro di gravità del sistema avesse occupato le posizioni più basse possibili. Lagrange generalizzò il principio di Torricelli enunciando un criterio di stabilità.
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Derivabilità di una funzione e continuità della derivata

giovedì, Novembre 5th, 2020

Nel nostro gruppo su facebook è in corso uno scambio di idee circa la questione della continuità della derivata prima di una funzione assegnata. In parole povere data una funzione reale di una variabile reale, derivabile in un assegnato punto x₀ del suo campo di esistenza, ci si pone il problema della continuità della derivata prima nel predetto punto.

Di questo problema ce ne eravamo occupati nello studio della convergenza della serie di Fourier delle cosiddette "funzioni infinitamente oscillanti".
Ciò premesso, utilizzando il noto Teorema di Lagrange, è possibile dimostrare un Teorema che caratterizza il comportamento della derivata di funzioni della predetta classe.
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