[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Göhl (parte quinta)

lunedì, Aprile 24th, 2017

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Nel post precedente abbiamo stabilito il seguente risultato per quanto riguarda il contributo alla funzione di distribuzione dei numeri primi π₀ in grado di riprodurre l'andamento a gradini. Precisamente:

ove

Dimostriamo ora che il secondo membro di tale espressione è una grandezza reale. A tale scopo poniamo:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

essendo

Dalla definizione dell'esponenziale integrale:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Segue

Quindi

Per studiare il comportamento dei singoli termini T_n(x), consideriamo l'espansione esatta:

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[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte quarta)

sabato, Aprile 22nd, 2017

zeri non banali zeta di riemann,numeri primi, congettura di riemann — **Fig. 1. Alcuni zeri non banali della funzione zeta di Riemann.**

Per esplicitare la sommatoria

applichiamo la congettura di Riemann:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Si noti che l'espressione analitica della successione di elmenti di R:

è ignota. Ciò che è invece noto, è l'insieme dei valori assunti dai singoli termini fino a un certo ordine. In parole povere la non conoscenza dell'espressione analitica (se esiste) della predetta successione, implica che la parte immaginaria degli zeri della funzione zeta di Riemann, può essere al più computata manualmente (o via software), e ciò può realizzarsi per un numero infinito di elementi. In ogni caso, consideriamo l'espansione da -oo a +oo: