[¯|¯] Successioni univocamente definite. Successioni ricorsivamente definite. I numeri di Fibonacci

Settembre 14th, 2014 | by extrabyte |

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Nella lezione precedente abbiamo definito il concetto di funzione reale di una variabile reale, quale applicazione tra due sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ che abbiamo denotato con $X$ e $Y$ :

$f:X\rightarrow Y$

Un caso particolare di funzione reale di una variabile reale è quello in cui

$X=\mathbb{N}$ , dove

$\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,...,n,...\right\}$ è l'insieme degli interi naturali. Una tale funzione è detta
successione. Più precisamente:
Definizione 1
Assegnato

$Y\subseteq\mathbb{R}\mid$

$Y\not =\emptyset$ , dicesi successione di elementi di

$Y$ , una funzione:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\longrightarrow y\left( n\right) ,\,\,\ \,\forall n\in X}{y:\mathbb{N}\rightarrow Y}
\label{eq: succ}%
\end{equation}
La numerabilità di

$\mathbb{N}$ implica la numerabilità del codominio di

$y$ , cioè dell'insieme

$y\left( \mathbb{N}\right) \subset\mathbb{R}$ .
Infatti:

$y\left( \mathbb{N}\right) =\left\{ y\left( 1\right) ,y\left( 2\right),...,y\left( n\right) ,...\right\}$

Siccome la variabile indipendente è l'intero naturale

$n$ , è preferibile denotare con

$y_{n}$ il valore

$y\left( n\right)$ , che si chiama termine n-esimo della successione. Si utilizza, poi, la
notazione compatta:

$\left\{ y_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}},$

che può essere ulteriormente snellita:

$\left\{ y_{n}\right\}$

Esercizio
Determinare il codominio della successione il cui termine n-esimo è $y_{n}=\left( -1\right) ^{n}$ .

Svolgimento.

Esplicitiamo i singoli termini:

$y_{0}=1,\,\,y_{1}=-1,\,\,y_{2}=1,\,\,y_{3}=-1,...,$

onde

$y\left( \mathbb{N}\right) =\left\{ -1,1\right\}$ . Ne concludiamo che

$\left\{ \left( -1\right) ^{n}\right\}$ è una successione di elementi di

$\left\{ -1,1\right\}$ .

L'univocità della corrispondenza (\ref{eq: succ}) implica che la successione di elementi di $Y$ che abbiamo denotato con $\left\{y_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}$ è univocamente definita. Di contro, esistono successioni ricorsivamente definite, nel senso che il termine n-esimo dipende dai termini precedenti. Cioè:

$y_{n}\left( y_{n-1},y_{n-2},...,y_{n-p}\right) ,$

dove

$p\in\left\{ 1,2,...,n-1\right\}$ . Un esempio è dato dalla successione di Fibonacci:
\begin{equation}
y_{n}=y_{n-1}+y_{n-2},\,\,\,\,\,n\in\mathbb{N}\diagdown\left\{ 0,1\right\}
\label{eq: fibo}%
\end{equation}
Per poter determinare i termini (denominati numeri di Fibonacci) della successione (\ref{eq: fibo}), è necessario conoscere

$y_{0},\,y_{1}$ che sono:

$y_{0}=0,\,\,y_{1}=1$

Quindi:
\begin{align*}
y_{2} & =y_{1}+y_{0}=1+0=1\\
y_{3} & =y_{2}+y_{1}=1+1=2\\
y_{4} & =y_{3}+y_{2}=2+1=3\\
y_{5} & =y_{4}+y_{3}=3+2=5\\
y_{6} & =y_{5}+y_{4}=5+3=8\\
& ...
\end{align*}
Cioè, il codominio della successione di fibonacci è:

$y\left( \mathbb{N}\right) =\left\{ 0,1,1,2,3,5,8,...\right\}\subset\mathbb{N}%$