[¯|¯] Successioni univocamente definite. Successioni ricorsivamente definite. I numeri di Fibonacci

Settembre 14th, 2014 | by extrabyte |
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Nella lezione precedente abbiamo definito il concetto di funzione reale di una variabile reale, quale applicazione tra due sottoinsiemi di che abbiamo denotato con e :


Un caso particolare di funzione reale di una variabile reale è quello in cui , dove è l'insieme degli interi naturali. Una tale funzione è detta
successione. Più precisamente:
Definizione 1
Assegnato , dicesi successione di elementi di , una funzione:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\longrightarrow y\left( n\right) ,\,\,\ \,\forall n\in X}{y:\mathbb{N}\rightarrow Y}
\label{eq: succ}%
\end{equation}
La numerabilità di implica la numerabilità del codominio di , cioè dell'insieme .
Infatti:


Siccome la variabile indipendente è l'intero naturale , è preferibile denotare con il valore , che si chiama termine n-esimo della successione. Si utilizza, poi, la
notazione compatta:


che può essere ulteriormente snellita:



Esercizio
Determinare il codominio della successione il cui termine n-esimo è .

Svolgimento.

Esplicitiamo i singoli termini:


onde . Ne concludiamo che è una successione di elementi di .

L'univocità della corrispondenza (\ref{eq: succ}) implica che la successione di elementi di che abbiamo denotato con è univocamente definita. Di contro, esistono successioni ricorsivamente definite, nel senso che il termine n-esimo dipende dai termini precedenti. Cioè:


dove . Un esempio è dato dalla successione di Fibonacci:
\begin{equation}
y_{n}=y_{n-1}+y_{n-2},\,\,\,\,\,n\in\mathbb{N}\diagdown\left\{ 0,1\right\}
\label{eq: fibo}%
\end{equation}
Per poter determinare i termini (denominati numeri di Fibonacci) della successione (\ref{eq: fibo}), è necessario conoscere che sono:


Quindi:
\begin{align*}
y_{2} & =y_{1}+y_{0}=1+0=1\\
y_{3} & =y_{2}+y_{1}=1+1=2\\
y_{4} & =y_{3}+y_{2}=2+1=3\\
y_{5} & =y_{4}+y_{3}=3+2=5\\
y_{6} & =y_{5}+y_{4}=5+3=8\\
& ...
\end{align*}
Cioè, il codominio della successione di fibonacci è:

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