La normale a una curva è la tangente alla sua evoluta
lunedì, Dicembre 28th, 2020In base al teorema 4, la retta tangente all'evoluta &gamma:* in un generico punto C, è la normale all'evolvente γ nel punto P tale che C è centro di curvatura in quel punto. In altri termini, la normale a una curva è la tangente alla sua evoluta. Ne consegue che l'evoluta di una curva ? è l'inviluppo delle normali a γ. Questa notevole proprietà dell'evoluta si traduce in un efficace algoritmo per la determinazione di tale luogo geometrico. Ad esempio, nel caso dell'esercizio precedente proviamo a scrivere l'equazione della famiglia delle normali all'ellisse:
Nel frattempo guardando la fig.
constatiamo quanto appena asserito e cioè: la normale all'ellisse è la tangente alla sua evoluta.
Per determinare l'equazione della normale all'ellisse procediamo nel seguente modo: scriviamo l'equazione della tangente in un generico punto, ossia
dopodiché scriviamo l'equazione della retta perpendicolare alla tangente. A tale scopo osserviamo che una coppia di numeri direttori della tangente è
Dalla geometria analitica sappiamo che una coppia di numeri direttori (?',µ') della retta perpendicolare deve essere tale che
Ad esempio
è una tale coppia. E anche
per cui l'equazione della normale è
Abbiamo dunque l'equazione della famiglia di normali a γ:
avendo definito:
A questo punto, componiamo il sistema
le cui soluzioni restituiscono l'equazione dell'evoluta trovata nell'esercizio precedente. Prima di concludere, applichiamo il teorema 5 per determinare la lunghezza dell'evoluta (senza calcolare un fastidioso integrale!). A tale scopo, facciamo riferimento alla fig.
nonché alla rappresentazione parametrica dell'evoluta e del raggio di curvatura dell'ellisse, ricavati dall'esercizio precedente:
La retta tangente all'evoluta nel punto A' è l'asse x, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto A. In tale punto è t=0, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:
La retta tangente all'evoluta nel punto B' è l'asse y, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto B. In tale punto è t=&pi/2, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:
Per il predetto teorema, la lunghezza dell'arco di estremi A',B' è
Ne consegue che la lunghezza dell'intera evoluta è
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