La normale a una curva è la tangente alla sua evoluta

Dicembre 28th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


In base al teorema 4, la retta tangente all'evoluta &gamma:* in un generico punto C, è la normale all'evolvente γ nel punto P tale che C è centro di curvatura in quel punto. In altri termini, la normale a una curva è la tangente alla sua evoluta. Ne consegue che l'evoluta di una curva ? è l'inviluppo delle normali a γ. Questa notevole proprietà dell'evoluta si traduce in un efficace algoritmo per la determinazione di tale luogo geometrico. Ad esempio, nel caso dell'esercizio precedente proviamo a scrivere l'equazione della famiglia delle normali all'ellisse:


Nel frattempo guardando la fig.


constatiamo quanto appena asserito e cioè: la normale all'ellisse è la tangente alla sua evoluta.

Per determinare l'equazione della normale all'ellisse procediamo nel seguente modo: scriviamo l'equazione della tangente in un generico punto, ossia


dopodiché scriviamo l'equazione della retta perpendicolare alla tangente. A tale scopo osserviamo che una coppia di numeri direttori della tangente è


Dalla geometria analitica sappiamo che una coppia di numeri direttori (?',µ') della retta perpendicolare deve essere tale che


Ad esempio

è una tale coppia. E anche

per cui l'equazione della normale è


Abbiamo dunque l'equazione della famiglia di normali a γ:


avendo definito:


A questo punto, componiamo il sistema


le cui soluzioni restituiscono l'equazione dell'evoluta trovata nell'esercizio precedente. Prima di concludere, applichiamo il teorema 5 per determinare la lunghezza dell'evoluta (senza calcolare un fastidioso integrale!). A tale scopo, facciamo riferimento alla fig.

nonché alla rappresentazione parametrica dell'evoluta e del raggio di curvatura dell'ellisse, ricavati dall'esercizio precedente:

La retta tangente all'evoluta nel punto A' è l'asse x, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto A. In tale punto è t=0, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:

La retta tangente all'evoluta nel punto B' è l'asse y, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto B. In tale punto è t=&pi/2, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:

Per il predetto teorema, la lunghezza dell'arco di estremi A',B' è


Ne consegue che la lunghezza dell'intera evoluta è



According to the theorem 4,the tangent line to the evolved &gamma:* in a generic point C, is the normal to the involute γ at point P such that C is the center of curvature at that point. In other words, the normal to a curve is the tangent to its evolved. It follows that the evolved of a curve γ is the envelope of the normals to γ. This remarkable property of the evolute translates into an effective algorithm for the determination of this geometric place. For example, in the case of the previous exercise we try to write the equation of the family of normals to the ellipse:


Meanwhile looking at fig.


we note what has just been stated and that is: the normal to the ellipse is the tangent to its evolved one.

To determine the equation of the normal to the ellipse we proceed in the following way: we write the equation of the tangent in a generic point, that is


then we write the equation of the line perpendicular to the tangent. For this purpose we observe that a pair of direct numbers of the tangent is


From analytical geometry we know that a pair of director numbers (? ', µ ') of the perpendicular line must be such that

For example

it's such a couple


so the equation of the normal is


We therefore have the equation of the family of normals a γ


having defined:

At this point, let's compose the system


whose solutions return the equation of the evolute found in the previous exercise. Before concluding, let's apply the theorem 5 to determine the length of the evolute (without calculating an annoying integral!). For this purpose, we refer to the figure:

As well as to the parametric representation of the evolute and the radius of curvature of the ellipse, obtained from the previous exercise:


The tangent line to the evolved at point A ' is the x axis, which in turn is the normal to the ellipse at point A. At this point it is t = 0, so the radius of curvature of the ellipse is:


The tangent line to the evolute at point B 'is the y axis, which in turn is the normal to the ellipse at point B. At this point it is t = π/2, so the radius of curvature of the ellipse is:


By the aforementioned theorem, the arc length of endpoints A ', B' is


It follows that the length of the entire evolved is

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