Evoluta dell'ellisse

Dicembre 28th, 2020 | by Marcello Colozzo |

evoluta,ellisse,centro di curvatura — **Fig. 1**

Esercizio

Assegnata l'ellisse:

Determinare: 1) le coordinate cartesiane del centro di curvatura e il raggio di curvatura in un generico punto dell'ellisse. 2) L'equazione dell'evoluta.

Soluzione
Abbiamo dimostrato in precedenza che la curvatura è

Ricordiamo che la notazione puntata denota la derivazione rispetto al parametro t. Il raggio di curvatura è

Nel caso di una curva piana

Ne segue

Per quanto riguarda le coordinate cartesiane del centro di curvatura, avevamo detto che

dove n_x, n_y sono le componenti cartesiane del versore curvatura

dove l'apice denota la derivazione rispetto al parametro naturale s. Passando da una rappresentazione all'altra, si trova:

Nel nostro caso è

Segue

mentre

Per rispondere al secondo quesito, basta applicare la definizione di evoluta di una curva piana (luogo dei centri di curvatura), per cui

che è tracciata in fig. 1 ove abbiamo considerato a > b*sqrt(2).

Exercise

Given the ellipse:

Determine: 1) the Cartesian coordinates of the center of curvature and the radius of curvature in a generic point of the ellipse. 2) The equation of the evolved.

Solution
We have previously shown that curvature is

Recall that the dotted notation denotes the derivation with respect to the parameter t. The radius of curvature is

In the case of a flat curve

It follows

As for the Cartesian coordinates of the center of curvature, we said that

where n_x, n_y are the Cartesian components of the curvature vector unit

where the apex denotes the derivation with respect to the natural parameter s. Passing from one representation to another, we find:

In our case it is

It follows

mentre

To answer the second question, it is sufficient to apply the definition of evolved of a plane curve (locus of the centers of curvature), so

which is drawn in fig. 1 where we have considered a> b * sqrt(2).