» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Integrale curvilineo esteso ad un arco di spirale logaritmica

lunedì, Dicembre 12th, 2016

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Esercizio
Calcolare:

dove γ(P,O) è l'arco dell'esercizio precedente

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Soluzione
Il cammino di integrazione è illustrato in fig. 1. Dal momento che già conosciamo la rappresentazione naturale della curva (cfr. esercizio precedente)

s

conviene integrare rispetto a s. A tale scopo determiniamo a parte:

Segue

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[¯|¯] Integrale curvilineo su un arco di cicloide

mercoledì, Dicembre 7th, 2016

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Esercizio
Scrivere l'espressione generale dell'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è il primo arco di cicloide:

mentre f(x,y) è un qualunque elemento di C¹(A), essendo A un campo di R² contenente γ. Calcolarne poi il valore numerico per f(x,y)=y².

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Soluzione
Le equazioni parametriche date descrivono il primo arco di parabola per t tra 0 e 2 pi. Calcoliamo le derivate delle funzioni x(t),y(t):

ottenendo per la funzione H(t):

Osserviamo che

essendo O e P gli estremi del cammino di integrazione.
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