[¯|¯] Integrale curvilineo su un arco di cicloide

Dicembre 7th, 2016 | by Marcello Colozzo |

integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

fig.1


Esercizio
Scrivere l'espressione generale dell'integrale curvilineo:

integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

dove il cammino di integrazione è il primo arco di cicloide:
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

mentre f(x,y) è un qualunque elemento di C¹(A), essendo A un campo di R² contenente γ. Calcolarne poi il valore numerico per f(x,y)=y².


Soluzione
Le equazioni parametriche date descrivono il primo arco di parabola per t tra 0 e 2 pi. Calcoliamo le derivate delle funzioni x(t),y(t):

integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

ottenendo per la funzione H(t):

integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

Osserviamo che
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

essendo O e P gli estremi del cammino di integrazione.








Introduciamo su ? un riferimento curvilineo (Os) con ascissa curvilinea s(t) strettamente crescente, per cui
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

Segue
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

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