Geometric interpretation of the Frenet formulas

domenica, Dicembre 6th, 2020

Il versore b(s) individua la giacitura del piano osculatore α(s) nel punto P(s). Al variare di s cambia la giacitura di a(s) giacché ((db)/(ds))=τ(s)n(s) e in generale è χ(s) diversa da zero; e la torsione misura la rapidità con cui cambia la giacitura di α(s). La seconda equazione è determinata da due contributi (a secondo membro): il primo è dovuto alla rotazione nel piano osculatore del versore normale principale, mentre il secondo contributo è dovuto al fatto che il versore normale insegue il cambiamento della giacitura del piano osculatore.

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The unit vector b (s) identifies the position of the osculating plane α(s) at the point P (s). As s changes, the position of α(s) changes since ((db) / (ds)) = τ (s) n(s) and in general is χ (s) different from zero; and torsion measures how quickly the α(s) (s) position changes. The second equation is determined by two contributions (to the second member): the first is due to the rotation in the osculating plane of the main normal vector unit, while the second contribution is due to the fact that the normal vector unit follows the change in the position of the osculating plane.

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Frenet's Theorem (Frenet formulas)

domenica, Dicembre 6th, 2020

Dopo aver dimostrato il lemma, passiamo finalmente alla dimostrazione delle formule di Frenet nel caso di curve in R^3 (avevamo dimostrato le medesime formule per curve in R^2).
La dimostrazione è molto semplice: data una curva regolare in rappresentazione naturale, fissiamo (ad arbitrio) una ascissa curvilinea s₀, e quindi la relativa terna intrinseca (che è una base ortonormale di R^3). Per un qualunque s, la terna intrinseca è una nuova base ortonormale di R^3. Ne segue che la matrice di passaggio dalla prima alla seconda base è una matrice ortogonale (i.e. elemento del gruppo O(3)). Ora orientiamo gli assi coordinati xyz come la terna intrinseca in s₀, per cui la prima base è la base canonica di R^3. Scrivendo i singoli vettori della nuova base come combinazione lineare dei vettori della prima base (in forma matriciale), e derivando rispetto all'ascissa curvilinea, ci ritroviamo con i primi membri coincidenti con quelli delle formule di Frenet, mentre a secondo membro abbiamo la derivata di una matrice che calcolata in s₀ è antisimmetrica in virtù del predetto lemma. E quindi l'asserto.

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