Frenet's Theorem (Frenet formulas)

Dicembre 6th, 2020 | by Marcello Colozzo |

frenet formulas,Frenet's Theorem


Dopo aver dimostrato il lemma, passiamo finalmente alla dimostrazione delle formule di Frenet nel caso di curve in R^3 (avevamo dimostrato le medesime formule per curve in R^2).
La dimostrazione è molto semplice: data una curva regolare in rappresentazione naturale, fissiamo (ad arbitrio) una ascissa curvilinea s0, e quindi la relativa terna intrinseca (che è una base ortonormale di R^3). Per un qualunque s, la terna intrinseca è una nuova base ortonormale di R^3. Ne segue che la matrice di passaggio dalla prima alla seconda base è una matrice ortogonale (i.e. elemento del gruppo O(3)). Ora orientiamo gli assi coordinati xyz come la terna intrinseca in s0, per cui la prima base è la base canonica di R^3. Scrivendo i singoli vettori della nuova base come combinazione lineare dei vettori della prima base (in forma matriciale), e derivando rispetto all'ascissa curvilinea, ci ritroviamo con i primi membri coincidenti con quelli delle formule di Frenet, mentre a secondo membro abbiamo la derivata di una matrice che calcolata in s0 è antisimmetrica in virtù del predetto lemma. E quindi l'asserto.

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After demonstrating the lemma , we finally pass to the proof of the Frenet formulas in the case of curves in R ^ 3 (we had proved the same formulas for curves in R ^ 2).
The proof is very simple: given a regular curve in natural representation, we fix (at will) a curvilinear abscissa s 0 , and therefore the relative intrinsic triad (which is an orthonormal basis of R ^ 3). For any s, the intrinsic triple is a new orthonormal basis of R ^ 3. It follows that the matrix passing from the first to the second base is an orthogonal matrix (i.e. element of the group O (3)). Now we orient the coordinate axes xyz as the intrinsic triplet in s 0, so that the first base is the canonical basis of R ^ 3. Writing the single vectors of the new base as a linear combination of the vectors of the first base (in matrix form), and deriving with respect to the curvilinear abscissa, we find ourselves with the first members coinciding with those of the Frenet formulas, while on the second member we have the derivative of a matrix which calculated in s 0 is antisymmetric by virtue of the aforementioned lemma. And therefore the assertion.

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