La normale a una curva è la tangente alla sua evoluta

lunedì, Dicembre 28th, 2020

evoluta,normale,tangente,curva — **Fig. 1**

In base al teorema 4, la retta tangente all'evoluta &gamma:* in un generico punto C, è la normale all'evolvente γ nel punto P tale che C è centro di curvatura in quel punto. In altri termini, la normale a una curva è la tangente alla sua evoluta. Ne consegue che l'evoluta di una curva ? è l'inviluppo delle normali a γ. Questa notevole proprietà dell'evoluta si traduce in un efficace algoritmo per la determinazione di tale luogo geometrico. Ad esempio, nel caso dell'esercizio precedente proviamo a scrivere l'equazione della famiglia delle normali all'ellisse:

Nel frattempo guardando la fig.

constatiamo quanto appena asserito e cioè: la normale all'ellisse è la tangente alla sua evoluta.

Per determinare l'equazione della normale all'ellisse procediamo nel seguente modo: scriviamo l'equazione della tangente in un generico punto, ossia

dopodiché scriviamo l'equazione della retta perpendicolare alla tangente. A tale scopo osserviamo che una coppia di numeri direttori della tangente è

Dalla geometria analitica sappiamo che una coppia di numeri direttori (?',µ') della retta perpendicolare deve essere tale che

Ad esempio

è una tale coppia. E anche

per cui l'equazione della normale è

Abbiamo dunque l'equazione della famiglia di normali a γ:

avendo definito:

A questo punto, componiamo il sistema

le cui soluzioni restituiscono l'equazione dell'evoluta trovata nell'esercizio precedente. Prima di concludere, applichiamo il teorema 5 per determinare la lunghezza dell'evoluta (senza calcolare un fastidioso integrale!). A tale scopo, facciamo riferimento alla fig.

nonché alla rappresentazione parametrica dell'evoluta e del raggio di curvatura dell'ellisse, ricavati dall'esercizio precedente:

La retta tangente all'evoluta nel punto A' è l'asse x, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto A. In tale punto è t=0, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:

La retta tangente all'evoluta nel punto B' è l'asse y, che a sua volta è la normale all'ellisse nel punto B. In tale punto è t=&pi/2, per cui il raggio di curvatura dell'ellisse è:

Per il predetto teorema, la lunghezza dell'arco di estremi A',B' è

Ne consegue che la lunghezza dell'intera evoluta è

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[¯|¯] Ambiguità nella definizione di curva regolare

martedì, Marzo 28th, 2017

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente — **Fig. 1.**

Dal Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4 (definizione 1.2):

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.
Dalla definizione 1.1:

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.

In geometria differenziale per curva regolare si intende una curva liscia che non si spezza. "Liscia" vuol dire che è priva di spigoli, mentre "non si spezza" significa che non ha interruzioni. In meccanica analitica/razionale e più in generale in fisica, la regolarità è vitale. Ad esempio, nel caso di una curva spigolosa la velocità di una particella presenta una discontinuità finita nei punti angolosi, il che si traduce in una accelerazione infinita. Allo stesso modo non sono accettabili interruzioni se la traiettoria di una particella si interrompe, la particella medesima "sparisce" da un estremo dell'interruzione per "ricomparire" nell'altro (particella fantasma 😀 ) o ciò che è lo stesso, la particella percorre il tratto tra le due estremità a velocità infinita violando, in tal modo, uno dei postulati della Relatività Speciale.
Ciò premesso, la definizione fornita dal Fasano-Marmi sembra non essere completa. Infatti, come abbiamo visto nel
post il non annullarsi simultaneo delle derivate di x(t),y(t),z(t) è una condizione sufficiente ma non necessaria.

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