[¯|¯] Un approccio computazionale al NOISE

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[¯|¯] Un approccio computazionale al NOISE

lunedì, Marzo 6th, 2017

noise,brown noise,variabili aleatorie,white noise — **Fig. 2**

Introduzione. L'ipotesi ergodica

L'approccio standard allo studio del noise è di natura statistica. Più precisamente, si assume come ipotesi di lavoro la cosiddetta ipotesi ergodica che permette di sostituire la media temporale di una grandezza aleatoria y(t) con la media d'insieme:

dove Y è l'insieme dei valori assunti da y(t) e P(y,t) è la densità di probabilità: P(y0,t)dy è la probabilità infinitesima che una misura di y all'istante t fornisca un valore appartenente all'intervallo infinitesimo [y0,y0+dy]. Particolarmente diffusi sono processi aleatori stazionari, i.e. processi in cui la densità di probabilità non dipende esplicitamente dal tempo:

Per un processo aleatorio stazionario si ha

La stazionarietà di un processo aleatorio è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per l'ergodicità. Più precisamente, un processo aleatorio è ergodico se le medie di insieme coincidono con le medie temporali:

dove

I processi aleatori che ci interessano sono ergodici, perciò per il calcolo dei valori medi ci riferiamo alla formula vista prima. Una grandezza statisticamente significativa è la varianza:

che nel caso di media nulla si riduce a . Risulta

cioè la potenza della grandezza y(t). Lo step successivo consiste nel descrivere l'evoluzione temporale di una variabile aleatoria y(t) attraverso la funzione di autocorrelazione

che si dimostra essere (teorema di Wiener-Khintchine
la trasformata di Fourier dello spettro di potenza w(ω), definito da

Cioè

Da queste formule appare chiaro che lo studio statistico del noise è fondamentalmente basato sull'analisi dello spettro di potenza.

Rinunciare all'ipotesi ergodica

Rinunciare all'ipotesi ergodica equivale a sostituire l'analisi nel dominio delle configurazioni all'analisi nel dominio del tempo. Sembra un'operazione impossibile proprio per come sono definite le variabili aleatorie. A questo punto ricordiamo la distinzione tra grandezze deterministiche e grandezze aleatorie:
Il valore di una grandezza deterministica y_det in un istante t' è univocamente determinato dal valore assunto in un generico istante t minore di t'. In simboli:

Per una grandezza aleatoria y_al il valore assunto in t' non è univocamente determinato dai valori assunti a tempi t minore di t'. Però può accadere:

essendo P(y_al(t')) la densità di probabilità di misurare il valore y_al(t'). Secondo le formule precedenti la probabilità che in un istante t'>t la grandezza y_al} assuma un assegnato valore, è univocamente determinata dal valore assunto da y_al al tempo t. Ciò si esprime dicendo che y_al(t') è correlato a y_al}(t). Nel caso contrario, diremo che i suddetti valori sono scorrelati. Poniamo

dove abbiamo omesso il pedice "al". Se P(y1,y2) è la densità di probabilità congiunta, si ha:

È chiaro che

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[¯|¯] Funzioni ricorsivamente convergenti

giovedì, Febbraio 9th, 2017

L'esercizio precedente si presta ad una ulteriore generalizzazione, introducendo le nozioni di ricorsione e di convergenza ricorsiva. In realtà abbiamo già affrontato tale problema in .

Modifichiamo, aggiungendo ricorsività, il predetto esempio nel modo che segue

dove φ(x) è una funzione assegnata, infinitesima in x=0 e derivabile in un intorno di tale punto un numero "sufficiente" di volte in modo da poter applicare la regola di De L'Hospital in modo da risolvere la forma indeterminata 0/0. Esplicitando alcuni valori di n:

Definizione
La funzione

è, per x->0, ricorsivamente convergente se

Ciò equivale a dire che per x->0

è un infinitesimo di ordine 3, per ogni intero naturale non nullo n.

Nel caso della funzione φ(x)=tan(x), proponiamo la dimostrazione di Davide Lombardi.

Tale tipo di convergenza può essere studiata attraverso l'ausilio di un software del tipo Mathematica. Ad esempio, possiamo porre

cosicché il limite si scrive
limiti,Funzioni ricorsivamente convergenti,Funzioni ricorsivamente divergenti,ricorsività locale

dopodiché si cerca di applicare la regola di De L'Hospital. Tuttavia, per come abbiamo definito la convergenza ricorsiva, il limite deve essere calcolato per ogni n, cosa ovviamente impossibile. Al più, si potrebbe ricorrere a un procedimento di tipo induttivo vincolato, ovviamente, alla funzione φ(x). Ad esempio, per φ(x)=tanx, Mathematica restituisce i seguenti risultati: