[¯|¯] Oscillazioni libere con attrito. Implementazione in Mathematica

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[¯|¯] Oscillazioni libere con attrito. Implementazione in Mathematica

martedì, Marzo 21st, 2017

oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito — Fig. 1. Nell'oscillatore in alto, le forze di attrito sono dominanti, per cui nila particella non compie oscillazioni. Al centro una situazione simile, ma critica. L'oscillatore in basso compie oscillazioni esponenzialmente smorzate.

Ora che abbiamo compreso appieno la fisica del problema delle oscillazioni smorzate, ed aver risolto analiticamente l'equazione differenziale del moto per assegnate condizioni iniziali, possiamo affidarci a un software di calcolo simbolico/numerico come ad esempio, Mathematica. A tale scopo, riscriviamo l'equazione che ci interessa:

con le condizioni iniziali:
oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito

L'equazione differenziale è controllata dai parametri:

Dal momento che dobbiamo ricostruire in software l'evoluzione dinamica dell'oscillatore, è preferibile fissare una volta per tutte il valore di τ, lasciando come parametro la costante di tempo τ₀. Fisicamente, ciò equivale ad assegnare la forza di attrito e variare la costante elastica della molla. In tal caso è possibile ricostruire i tre casi:

I predetti comportamenti sono riassunti in fig. 1.
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[¯|¯] L'oscillatore di Langevin

lunedì, Marzo 6th, 2017

noise,equazione di langevin,variabili aleatorie,white noise — **Fig. 1. Diagramma orario dell'oscillatore di Langevin che si muove in un fluido caratterizzato da una costante di tempo τ_{=1 sec.}**

A questo punto ci possiamo "divertire", ad esempio generalizzando l'equazione di Langevin che descrive il moto di una particella browniana. Supponiamo che tale particella sia soggetta oltre alla forza viscosa.

dove ß è la mobilità, a una forza di richiamo elastica
noise,equazione di langevin,variabili aleatorie,white noise

essendo k la costante elastica. In tal caso l'equazione differenziale del moto è

Qui ω=sqrt(k/m) è la pulsazione mentre τ=ßm è la costante di tempo della forza viscosa. Al solito, α(t) descrive la dinamica degli urti particella-molecole del fluido.
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