Curve Theory. Existence and Uniqueness

Archive for the ‘Geometria II’ Category

Curve Theory. Existence and Uniqueness

venerdì, Dicembre 4th, 2020

Il Teorema di Frenet (nel piano!) ci consente di enunciare e dimostrare un teorema di esistenza ed unicità di una curva, nel senso che tale luogo geometrico è univocamente determinato da una funzione "curvatura" k(s), e dalla conoscenza del versore tangente e del versore normale in un punto di ascissa curvilinea assegnata.
Ciò è una conseguenza del teorema di Frenet, in quanto le omonime equazioni possono essere combinate in modo da dar luogo a un'equazione differenziale (vettoriale) del secondo ordine nel versore tangente in funzione di s. Da qui si capisce che esistenza ed unicità della soluzione t(s) - dove t(s) è il versore tangente, derivano dal famoso teorema di Cauchy-Lipschitz. L'unicità di t(s) implica l'unicità della curva perché si passa alla rappresentazione naturale x(s) integrando t(s). "Apparentemente" sembrano esistere infinite curve o ciò che è lo stesso una sola curva, a meno di una traslazione e di una rotazione nel piano. In realtà, se fissiamo l'ascissa curvilinea s₀ in cui assegnamo le nostre condizioni iniziali, la curva risulta essere unica.

(altro…)

Posted in Geometria differenziale, Geometria II, Meccanica analitica, meccanica razionale | No Comments »

Frenet's theorem (flat curves)

venerdì, Dicembre 4th, 2020

In questa lezione ricaviamo le famose formule di Frenet nel caso di una curva piana. Nella nostra presentazione, tali formule sono presentate in un Teorema (Teorema di Frenet) che enunceremo e dimostreremo.

(altro…)