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Curve Theory. Existence and Uniqueness

Il Teorema di Frenet (nel piano!) ci consente di enunciare e dimostrare un teorema di esistenza ed unicità di una curva, nel senso che tale luogo geometrico è univocamente determinato da una funzione "curvatura" k(s), e dalla conoscenza del versore tangente e del versore normale in un punto di ascissa curvilinea assegnata.
Ciò è una conseguenza del teorema di Frenet, in quanto le omonime equazioni possono essere combinate in modo da dar luogo a un'equazione differenziale (vettoriale) del secondo ordine nel versore tangente in funzione di s. Da qui si capisce che esistenza ed unicità della soluzione t(s) - dove t(s) è il versore tangente, derivano dal famoso teorema di Cauchy-Lipschitz. L'unicità di t(s) implica l'unicità della curva perché si passa alla rappresentazione naturale x(s) integrando t(s). "Apparentemente" sembrano esistere infinite curve o ciò che è lo stesso una sola curva, a meno di una traslazione e di una rotazione nel piano. In realtà, se fissiamo l'ascissa curvilinea s₀ in cui assegnamo le nostre condizioni iniziali, la curva risulta essere unica.

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The Frenet's Theorem (in the plane!) allows us to state and prove a existence and uniqueness theorem of a curve, in the sense that this geometric locus is uniquely determined by a "curvature" function k (s), and from the knowledge of the tangent versor and the normal versor in a point of assigned curvilinear abscissa.
This is a consequence of Frenet's theorem, since the homonymous equations can be combined in such a way as to give rise to a differential (vector) equation of the second order in the tangent versor as a function of s. From here we understand that the existence and uniqueness of the solution t(s) - where t(s) is the tangent vector unit, derive from the famous Cauchy-Lipschitz theorem . The uniqueness of t(s) implies the uniqueness of the curve because we pass to the natural representation x (s) by integrating t(s). "Apparently" there seem to be infinite curves or what is the same a single curve, except for a translation and a rotation in the plane. In reality, if we fix the curvilinear abscissa s 0 in which we assign our initial conditions, the curve turns out to be unique.

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Tags: Curve Theory, Existence and Uniqueness