Esercizio 1. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

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Esercizio 1. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

giovedì, Dicembre 31st, 2020

Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(1,1)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

che ammette l'unica soluzione (0,0). Tale punto appartiene alla curva assegnata, per cui è un punto singolare. Per classificarlo dobbiamo calcolare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

per cui

Ne consegue che non possiamo asserire nulla al riguardo, se non disegnando la curva (fig. 1), da cui vediamo che (0,0) è un punto cuspidale.
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L'evoluta di un asteroide è un asteroide di ampiezza doppia, ruotato di pi/4

mercoledì, Dicembre 30th, 2020

In quest'articolo dimostriamo un importante teorema secondo cui, l'evoluta di un asteroide è a sua volta un asteroide. Precisamente, è un asteroide di ampiezza doppia e ruotato di pi/4.
La dimostrazione del teorema è essenzialmente basata sul calcolo diretto delle coordinate cartesiane del centro di curvatura, e quindi della rappresentazione parametrica dell'evoluta (si ricordi che l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura di una curva data). Ma ciò non basta, perchè non è chiara la natura della curva. Dobbiamo 1) eseguire una riparametrizzazione; 2) eseguire una rotazione di pi/4 degli assi coordinati. Quest'ultima operazione viene eseguita con il formalismo delle matrici di rotazione.

Scarica la dimostrazione in pdf
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