Esercizio 1. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

Dicembre 31st, 2020 | by Marcello Colozzo |

retta tangente a una curva piana data in forma implicita
Fig. 1


Esercizio

Assegnata la curva


1) Scrivere l'equazione della tangente in P(1,1)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.


Soluzione
Poniamo


L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

che ammette l'unica soluzione (0,0). Tale punto appartiene alla curva assegnata, per cui è un punto singolare. Per classificarlo dobbiamo calcolare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

per cui

Ne consegue che non possiamo asserire nulla al riguardo, se non disegnando la curva (fig. 1), da cui vediamo che (0,0) è un punto cuspidale.


Exercise

Let's consider the curve

1) Write the equation of the tangent in P(1,1)

2) Classify any singular points.


Solution
Let's say


L'equazione della retta tangente è

Let's calculate the partial derivatives:

It follows

Then the required equation:

For question 2 we have to solve the system:

which admits the only solution (0,0). This point belongs to the assigned curve, so it is a singular point. To classify it we need to calculate

where

For this purpose we determine the second partial derivatives:

for which

It follows that we cannot assert anything about it, except by drawing the curve (fig. ( fig: tan01 ), from which we see that (0,0) is a cusp point.

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