» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Evoluta della parabola

martedì, Dicembre 29th, 2020

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Esercizio

Trovare l'evoluta della parabola y²=2px.

Soluzione
Una rappresentazione parametrica della parabola assegnata è

Dobbiamo utilizzare le ben note equazioni per calcolare le coordinate del centro di curvatura:

Abbiamo

Quindi

Siccome l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura, le equazioni appena scritte costituiscono una rappresentazione parametrica di tale curva. Riscriviamole per chiarezza nella forma consueta:

Per vedere di quale curva si tratta, eliminiamo il parametro t. Ad esempio, dalla prima ricaviamo

che sostituito nella seconda, dopo qualche passaggio:

cioè una semicubica con cuspide in (p,0), e che interseca la parabola nei punti

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Evoluta dell'iperbole

martedì, Dicembre 29th, 2020

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Esercizio

Assegnata l'iperbole:

Determinare: 1) le coordinate cartesiane del centro di curvatura e il raggio di curvatura in un generico punto dell'iperbole. 2) L'equazione dell'evoluta.

Soluzione
È sufficiente riferirsi al ramo tracciato nel semipiano x>0. Qui l'iperbole ammette la seguente rappresentazione parametrica:

Dobbiamo applicare le seguenti formule per il raggio di curvatura e le coordinate del centro di curvatura:

Nel caso in esame è

Segue

mentre

Quindi una rappresentazione parametrica dell'evoluta è

Entrambe le curve sono tracciate in fig.1.
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