» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] la spirale di Archimede

La spirale di Archimede ha equazione polare:

dove a>0. Sostituendo nelle equazioni che legano le coordinate cartesiane alle coordinate polari nel piano, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica:

A diferenza della spirale logaritmica in cui il raggio vettore r cresce esponenzialmente con l'anomalia φ, in quella di Archimede r è funzione linare ed omogenea di φ, cosicchè

Ne consegue che il polo O non è punto asintotico per la curva.
(altro…)

Posted in Analisi Matematica II, Geometria analitica, Geometria differenziale | No Comments »

[¯|¯] Studio di curve piane in coordinate polari. La spirale logaritmica

Con questo post inauguriamo la stesura di un handbook dedicato allo studio di curve piane in coordinate polari. Rammentiamo che l'equazione che rappresenta una curva in un assegnato sistema di coordinate, può assumere forme differenti. Ad esempio, si può considerare il grafico di una funzione f(x):

o in forma implicita:

In quest'ultimo caso si cerca di "forzare" la variabile y esprimendola in funzione di x, utilizzando il teorema del Dini. Di particolare interesse sono le curve in coordinate polari. Precisamente, assegnato un riferimento polare con polo nell'origine del corrispondente riferimento cartesiano R(Oxy) e asse polare coincidente con l'asse x, l'equazione che rappresenta una curva piana in coordinate polari è r=r(φ) dove (r,φ) sono rispettivamente il raggio vettore e l'anomalia, ovvero le coordinate polari. Rammentiamo le equazioni che legano queste ultime alle coordinate cartesiane:

Posted in Analisi Matematica II, Geometria analitica, Geometria differenziale | No Comments »