[¯|¯] Definizione assiomatica di curva

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[¯|¯] Definizione assiomatica di curva

domenica, Marzo 26th, 2017

curva,rappresentazione parametrica,intervallo base,parametro — **Fig. 1.**

La nozione di curva nello spazio euclideo R³ è un concetto primitivo assiomatizzabile. Invero, sussiste la seguente definizione:
Definizione
Per un'assegnata curva Γ di R³, esiste una funzione vettoriale di classe C° su un intervallo X di R

tale che

cioè Γ è l'immagine di X mediante x(t) o ciò che è lo stesso, è il codominio della funzione x(t).
La funzione vettoriale x(t) che definisce le coordinate cartesiane dei punti di Γ, si chiama rappresentazione parametrica di Γ, mentre l'intervallo di definizione X è la base della rappresentazione e la variabile reale t definisce il parametro della rappresentazione.

L'appartenenza a C° assicura che Γ sia una curva continua, ovvero priva di interruzioni. Ad esempio, consideriamo in R² il luogo geometrico Γ quale codominio della funzione vettoriale:

Tale funzione vettoriale non è continua in t=0, giacché

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[¯|¯] La nozione di funzione vettoriale di una variabile reale

domenica, Marzo 26th, 2017

funzione vettoriale di una variabile reale,funzione scalare,limite,derivata,integrale — **Fig. 1. La funzione vettoriale** f associa a ogni t appartentente a X (sottoinsieme di R) il vettore f(t)=f_x(t)i+f_y(t)j+f_z(t)k."

Definizione
Assegnato in R³ un riferimento cartesiano ortogonale K(Oxyz), una funzione vettoriale è una terna ordinata di funzioni reali di una variabile reale

Quindi ad ogni t appartentente a X, f associa univocamente il vettore di componenti cartesiane f_x(t),f_y(t),f_z(t) (cfr. fig. 1) in un assegnato riferimento cartesiano ortogonale K(Oxyz). Indicando con i,j,k i versori degli assi coordinati, si ha:

Denotando con · il prodotto scalare canonico nello spazio vettoriale euclideo R³, si ha la seguente definizione:
Definizione
Assegnata la funzione vettoriale:

dicesi modulo di f, il numero reale non negativo:

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