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[¯|¯] Studio di curve piane in coordinate polari. La spirale logaritmica

Con questo post inauguriamo la stesura di un handbook dedicato allo studio di curve piane in coordinate polari. Rammentiamo che l'equazione che rappresenta una curva in un assegnato sistema di coordinate, può assumere forme differenti. Ad esempio, si può considerare il grafico di una funzione f(x):

o in forma implicita:

In quest'ultimo caso si cerca di "forzare" la variabile y esprimendola in funzione di x, utilizzando il teorema del Dini. Di particolare interesse sono le curve in coordinate polari. Precisamente, assegnato un riferimento polare con polo nell'origine del corrispondente riferimento cartesiano R(Oxy) e asse polare coincidente con l'asse x, l'equazione che rappresenta una curva piana in coordinate polari è r=r(φ) dove (r,φ) sono rispettivamente il raggio vettore e l'anomalia, ovvero le coordinate polari. Rammentiamo le equazioni che legano queste ultime alle coordinate cartesiane:

Spirale logartimica

La spirale logaritmica ha equazione:

In questa sezione dimostreremo una importante proprietà della spirale logaritmica, espressa dal seguente teorema:
Teorema
Sia P un punto variabile sulla spirale logaritmica. La retta tangente alla curva in P, interseca il raggio vettore secondo un angolo costante.

Dimostrazione
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Tags: coordinate polari, curve piane, spirale logaritmica