[¯|¯] Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare

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[¯|¯] Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare

lunedì, Marzo 27th, 2017

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente — **Fig. 1.**

L'asserzione secondo cui una delle condizioni affinché una curva sia dotata di retta tangente è data dal non annullarsi simultaneo delle derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) che compongono una sua rappresentazione parametrica, è facilmente confutabile. Per essere più precisi, tale condizione è sufficiente ma non necessaria, come mostra l'animazione grafica di fig. 1 da cui è visibile la retta tangente a una curva piana la cui rappresentazione parametrica è non regolare in forza dell'annullarsi simultaneo delle derivate di x(t) e y(t) per t=0.
Per dimostrare ciò in maniera rigorosa premettiamo una definizione e la dimostrazione di un importante teorema.
Definizione
Una curva semplice è il codominio di una rappresentazione parametrica iniettiva:

dove

Utilizzando un linguaggio impreciso ma efficace, possiamo dire che una curva semplice "non si intreccia". Più rigorosamente, una curva semplice è priva di punti multipli.
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[¯|¯] Rappresentazione parametrica regolare

lunedì, Marzo 27th, 2017

Definizione
Una rappresentazione parametrica

si dice regolare se:

La condizione 1 richiede la continuità della funzione vettoriale x(t) e della sua derivata prima. La condizione 2, invece, implica l'assenza di zeri al finito della derivata prima. Risulta manifestamente:

In altri termini, la condizione 2 ci dice che le derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) non si annullano mai per lo stesso valore del parametro t.
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