A lemma on the orthogonal group O(n)

Archive for the ‘Geometria differenziale’ Category

A lemma on the orthogonal group O(n)

sabato, Dicembre 5th, 2020

orthogonal group O(n), orthogonal matrix,antisymmetric matrix

Dimostriamo un lemma (sul gruppo ortogonale O(n)) che ci permetterà di dimostrare le famose formule di Frenet con pochi passaggi 🙂 .
Lemma
Hp:

Consideriamo un'applicazione che a uno scalare t associa un elemento del gruppo ortogonale O(n):

Assumiamo A(t) di classe C¹.

Th: La derivata di A(t) in t₀ è una matrice antisimmetrica.

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Curves in R³. Regular curve. Intrinsic triad. Osculating plane

sabato, Dicembre 5th, 2020

osculating plane,Curves in R³, Regular curve. Intrinsic triad

Le nozioni esposte nei numeri precedenti si gneralizzano facilmente alle curve in R³. Ad esempio, una rappresentazione parametrica di una curva gamma è una funzione vettoriale della variabile reale t (parametro della rappresentazione) definita in un intervallo (a,b).
Seguono le usuali definizioni di curva regolare e rappresentazione naturale. Nel caso tridimensionale, però, la curvatura k(s) non è sufficiente a determinare la curva, come succede nel caso bidimensionale. Ci serve una nuova grandezza nota come vettore unitario binormale che poi conduce alla definizione di piano osculatore.
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