» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Studio di curve piane in coordinate polari. La spirale logaritmica

Con questo post inauguriamo la stesura di un handbook dedicato allo studio di curve piane in coordinate polari. Rammentiamo che l'equazione che rappresenta una curva in un assegnato sistema di coordinate, può assumere forme differenti. Ad esempio, si può considerare il grafico di una funzione f(x):

o in forma implicita:

In quest'ultimo caso si cerca di "forzare" la variabile y esprimendola in funzione di x, utilizzando il teorema del Dini. Di particolare interesse sono le curve in coordinate polari. Precisamente, assegnato un riferimento polare con polo nell'origine del corrispondente riferimento cartesiano R(Oxy) e asse polare coincidente con l'asse x, l'equazione che rappresenta una curva piana in coordinate polari è r=r(φ) dove (r,φ) sono rispettivamente il raggio vettore e l'anomalia, ovvero le coordinate polari. Rammentiamo le equazioni che legano queste ultime alle coordinate cartesiane:

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[¯|¯] Complessificazione di uno spazio euclideo/affine

L'ampliamento complesso (o complessificazione) di uno spazio euclideo n-dimensionale (o di uno spazio affine) permette di formulare una geometria analitica sulla falsariga di quella relativa allo spazio reale. Inoltre, tale ampliamento dà luogo a nuovi enti geometrici, come: vettori isotropi, rette isotrope, piani isotropi, coni isotropi. Si tratta di elementi immaginari utilizzati in alcuni rami dell'analisi matematica come ad esempio, la teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, e in elettrodinamica (stati di polarizzazione circolare di un'onda elettromagnetica piana e monocromatica).

A rigore avremmo dovuto separare il caso euclideo da quello affine. Ma non appesantire la trattazione (un ebook di ben 109 pagine) abbiamo preferito riferirci genericamente allo "spazio reale".

Il libro inizia con un esempio che giustifica l'esigenza della complessificazione. Quindi si introducono gli "elementi immaginari" e l'operazione di coniugio. Il cap. 2 è dedicato ai vettori complessi enunciando la condizione di parallelismo e di ortogonalità (dopo aver introdotto la nozione di prodotto scalare). Nel capitolo 3 si definiscono gli enti geometrici elementari dello spazio complesso, ovvero rette e piani.

Il quarto capitolo è dedicato alla isotropia già accennata nel post precedente. Il quinto e ultimo capitolo particolarizza i risultati precedenti al caso del piano cartesiano Oxy.

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