[¯|¯] Coordinate polari nel piano

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[¯|¯] Coordinate polari nel piano

venerdì, Maggio 25th, 2018

Sia α un piano su cui è assegnato un riferimento cartesiano R(Oxyz).
Definizione
Dicesi verso positivo delle rotazioni, il verso secondo cui deve ruotare l'asse x attorno all'origine O per sovrapporsi all'asse y, con una rotazione di π/2. Il verso negativo delle rotazioni è il verso opposto a quello positivo.

È facile convincersi che in un usuale riferimento cartesiano R(Oxyz), il verso positivo è quello antiorario, come illustrato in figura:

Assegnato un punto P di un piano orientato, distinto dall'origine O del relativo riferimento cartesiano R, consideriamo il vettore posizione di P ovvero il vettore r applicato in O e di estremo P:

Definizione
Il vettore r si dice vettore posizione del punto P.
Denotiamo con ρ il modulo di r:
coordinate polari nel piano,raggio vettore,anomalia

essendo |OP| la misura assoluta del segmento OP. Chiamiamo θ la misura relativa di uno degli angoli di cui deve ruotare l'asse x per sovrapporsi al vettore posizione r. Cioè

Tale rotazione è manifestamente definita a meno di multipli interi di 2π, onde se θ₀ è la misura relativa dell'angolo che definisce una particolare rotazione, dovrà aversi:

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[¯|¯] la spirale di Archimede

venerdì, Dicembre 9th, 2016

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La spirale di Archimede ha equazione polare:

dove a>0. Sostituendo nelle equazioni che legano le coordinate cartesiane alle coordinate polari nel piano, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica:

A diferenza della spirale logaritmica in cui il raggio vettore r cresce esponenzialmente con l'anomalia φ, in quella di Archimede r è funzione linare ed omogenea di φ, cosicchè