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Analogia tra la trasmissione della quantità di moto e la trasmissione di calore nella convenzione

Abbiamo visto che un problema di fondo nella trasmissione di calore è la determinazione del legame funzionale generale Nu=ψ(Pr,Re). Tra i numerosi tentativi per risolvere tale problema uno dei più fertili si è dimostrato quello che raffronta analogicamente la trasmissione termica alla trasmissione delle quantità di moto.

Si consideri un flusso in un condotto, lungo l'asse x, e fissiamo l'attenzione su una zona turbolenta laminare di tale flusso. Sia W(y) la distribuzione di velocità lungo l'asse y posto W₀=0 per y=0.

Si supponga che le proprietà fisiche del flusso non dipendano dalla temperatura.

Le equazioni della tensione tangenziale t e del calore Q trasmesso nell'unità di tempo nello strato limite laminare e nello strato turbolento sono:

dove ν è la viscosità cinematica nello strato laminare. In tale zona il calore è trasmesso per conduzione. Se S

In un piano parallelo al flusso, ma già nella zona turbolenta, esistono - ved. lezioni precedenti - fluttuazioni di velocità W' intorno al valor medio e fluttuazioni di velocità Wⁿ in direzione y. Come già visto si ha:

La µ' è la viscosità dinamica dello strato viscoso o viscosità vorticosa. Posto

In modo analogo, per quanto riguarda la trasmissione del calore, vi sarà una fluttuazione termica turbolenta dovuta alle fluttuazioni di velocità W'' e alle fluttuazioni di temperatura T' intorno al valor medio. La trasmissione di calore convettiva secondo la direzione y sarà espressa da:

ricordando che il segno meno indica trasmissione di calore positiva, cioè

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Convezione termica lungo una lastra piana in flusso laminare

La figura mostra che il flusso, con velocità uniforme U, inizia sullo spigolo della piastra. Lungo il primo tratto x₀ la temperatura del fluido sulla parete non presenta una sensibile differenza dalla temperatura Θ₀0, che si suppone costante lungo l'asse x. Quindi per tutto il tratto x₀ si forma ed accresce il solo strato di fluido dinamico secondo una legge OK.
Da x₀ il fluido inizia ad assumere una temperatura T, che si discosta da Θ₀0; si forma quindi lo strato limite termico secondo una legge O_tK_t. Per integrare l'equazione ricavata nella lezione precedente, stabiliamo una legge di distribuzione di velocità valida per ogni x:

Per la distribuzione della temperatura assumiamo una legge analoga a quella della velocità:

Quindi dalla predetta equazione, dopo aver posto x₀=0:

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