» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Analogia tra la trasmissione della quantità di moto e la trasmissione di calore nella convenzione

Maggio 1st, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Appunti di esercizi di Termotecnica elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Abbiamo visto che un problema di fondo nella trasmissione di calore è la determinazione del legame funzionale generale Nu=ψ(Pr,Re). Tra i numerosi tentativi per risolvere tale problema uno dei più fertili si è dimostrato quello che raffronta analogicamente la trasmissione termica alla trasmissione delle quantità di moto.

Si consideri un flusso in un condotto, lungo l'asse x, e fissiamo l'attenzione su una zona turbolenta laminare di tale flusso. Sia W(y) la distribuzione di velocità lungo l'asse y posto W₀=0 per y=0.

Si supponga che le proprietà fisiche del flusso non dipendano dalla temperatura.

Le equazioni della tensione tangenziale t e del calore Q trasmesso nell'unità di tempo nello strato limite laminare e nello strato turbolento sono:

dove ν è la viscosità cinematica nello strato laminare. In tale zona il calore è trasmesso per conduzione. Se S è l'area normale a y potremo scrivere:

In un piano parallelo al flusso, ma già nella zona turbolenta, esistono - ved. lezioni precedenti - fluttuazioni di velocità W' intorno al valor medio e fluttuazioni di velocità Wⁿ in direzione y. Come già visto si ha:

La µ' è la viscosità dinamica dello strato viscoso o viscosità vorticosa. Posto

detta diffusività turbolenta di quantità di moto o viscosità cinematica turbolenta.

In modo analogo, per quanto riguarda la trasmissione del calore, vi sarà una fluttuazione termica turbolenta dovuta alle fluttuazioni di velocità W'' e alle fluttuazioni di temperatura T' intorno al valor medio. La trasmissione di calore convettiva secondo la direzione y sarà espressa da:

ricordando che il segno meno indica trasmissione di calore positiva, cioè

Per la zona di transizione possiamo scrivere:

Possiamo riassumere nello schema di fig. 1.
Esempio di analogia con Pr=1
Come applicazione di quanto sopra esposto si abbia

Scriveremo allora

e si ammettono costanti Q e τ, cioè τ=τ₀ =tensione di attrito lungo la parete che equivale a dire dW/dy=costante. Integriamo le equazioni differenziali appena scritte

Posto W₀=0 si ottiene

Lo sforzo tangenziale τ₀ può essere misurato sperimentalmente. Per il flusso in un tubo si è trovata la relazione

dove f=coefficiente di attrito e dipende dal numero di Reynolds Re. Riprendiamo la figura della lezione precedente.

L'equazione per Q può essere così scritta:

ma sappiamo che per la relazione convettiva di Newton è:

dove α_c vale

e dunque

Per una distribuzione di velocità al cubo ricordiamo

da cui ricaviamo

Dunque per il caso Pr=1 si giunge allo stesso risultato della lezione precedente per via puramente analitica.

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