Funzione che tende a un limite l per valori maggiori di l

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Funzione che tende a un limite l per valori maggiori di l

domenica, Febbraio 14th, 2021

In questa lezione presentiamo alcune osservazioni sulla definizione di limite di una funzione reale di una variabile reale, nei vari casi considerati. Ad esempio, dimostriamo che una funzione convergente per x che tende a x0, e definitivamente limitata intorno a tale punto. Si badi che la proposizione appena enunciata non è invertibile. Ad esempio, la funzione sinx è non regolare per x che tende all'infinito, pur essendo definitivamente limitata intorno a tale punto di accumulazione (all'infinito). A proposito di funzioni periodiche dimostreremo che tali funzioni sono non regolari per x che tende all'infinito. Anche questa proposizione è manifestamente non invertibile. Ad esempio, la funzione f(x)=sin(x^2) è non ammette limite all'infinito, pur non essendo periodica.
Infine, introduciamo l'importante locuzione: "f tende a l per valori maggiori [minori] di l", come illustrato in fig. 1.

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Non regolarità della funzione signum

sabato, Febbraio 13th, 2021

funzione signum, limite per x che tende a zero, non ammette limite

In questa lezione mostriamo la non regolarità della funzione signum che come sappiamo è così definita: sgn(x)=|x|/x, se x diverso da zero; sgn(x)=0 se x=0. Ad esempio per x che tende a zero, siamo tentati a scrivere lim=0. Ma comunque prendiamo un intorno di lim=0, possiamo associare intorni di x=0 per i quali i valori assunti dalla funzione non appartengono all'intorno di lim=0. In maniera analoga per lim=1 e lim=-1.

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