L'enigma della gravitazione (Newton, Mach, Einstein, Brans-Dicke) |

L'enigma della gravitazione (Newton, Mach, Einstein, Brans-Dicke)

Marzo 24th, 2021 | by Marcello Colozzo |

gravitazione,newton, mach,einstein,dicke

Richiamiamo velocemente il Principio di Mach. Partiamo dalla definizione (newtoniana) di sistema di riferimento inerziale che inevitabilmente implica l'esistenza di uno spazio assoluto (idea inaccettabile per Mach, in quanto "positivisticamente" si riferiva a sole grandezze osservabiliii).

Per Mach l'inerzia è dovuta a un'azione (gravitazionale?) dei "corpi lontani"

Nella locuzione originale, Mach parlava di "stelle lontane". Tuttavia, il significato è lo stesso.

Cosa significa tutto ciò? Facciamo un esempio banale: salgo su un autobus e mi siedo. Nell'istante t=0 il veicolo parte. C'è un'accelerazione in quanto dobbiamo passare da una velocità nulla a una assegnata velocità (nell'ipotesi di moto rettilineo). Rispetto a un osservatore fermo sul marciapiede (quindi è con buona approssimazione un sistema di riferimento inerziale), io sono sottoposto a una forza F=m*a, dove m è la mia massa inerziale ed "a" è l'accelerazione dell'autobus (stiamo ragionando sui moduli dei vettori in quanto il moto è per ipotesi rettilineo). Di contro, per un osservatore a bordo dell'autobus, io non sono sottoposto ad alcuna forza per la semplice ragione che sto fermo (rispetto all'autobus), o ciò che è lo stesso la risultante delle forze applicate è nulla. Ne segue che rispetto al sistema di riferimento non inerziale in cui l'autobus è in quiete, sono sottoposto a due forze uguali e contrarie. Vettorialmente: F=m*a e F_i=-m*a. Incidentalmente, esperimento proprio quest'ultima forza che tende a spingermi contro il sedile (quindi in direzione opposta al moto). Questa è la forza d'inerzia. Per Newton è una forza apparente nel senso che è necessaria per poter applicare il secondo principio della dinamica in un sistema di riferimento non inerziale.
Procediamo con il moto dell'autobus. Raggiunta una velocità di regime v₀, non avverto alcuna forza giacchè ora il sistema di riferimento è inerziale in quanto trasla uniformemente rispetto a quello dell'osservatore fermo sul marciapiede. Ma all'istante t₁ la strada si incurva. L'autista non accelera e non rallenta, nel senso che la pressione sul pedale dell'accelerazione è costante. Ciò implica che il veicolo percorre la curva con modulo della velocità costante. Tuttavia, trattandosi di un vettore, si ha un cambiamento di direzione e quindi, un'accelerazione. Tutto questo per l'osservatore fermo sul marciapiede. E in effetti, egli misura una forza centripeta. Applicando le precedenti argomentazioni su ciò che succede a bordo, si conclude che sui passeggeri agisce una forza uguale e contraria alla forza centripeta, che è la ben nota forza centrifuga. Si tratta comunque di una forza inerziale, giacché si oppone al cambiamento di direzione del vettore velocità.
Riassumendo:

la forza d'inerzia si oppone alle variazioni in modulo del vettore velocità
la forza centrifuga si oppone alle variazioni in direzione del vettore velocità

Quindi la forza centrifuga è una particolare forza d'inerzia. Per quanto precede, per Newton queste forze sono "fittizie" o "apparenti" e spariscono quando si passa a un sistema di riferimento inerziale. Questa argomentazione offre il fianco alla critica fondamentale, secondo cui non esiste uno spazio assoluto (e conseguentemente un tempo assoluto, giacché un sistema di riferimento necessita di un orologio).

Nella Relatività Generale formulata da Albert Einstein nel 1916 il principio di Mach è implicitamente incorporato in due step successivi. In primis, la scelta del sistema di coordinate è ininfluente (le leggi fisiche sono covarianti i.e. invarianti in forma, rispetto a un qualunque cambiamento del sistema di cooordinate). In uno spaziotempo 4-dimensionale etichettiamo i vari punti-eventi nella maniera seguente:

L'elemento di «distanza» si scrive (con l'usuale convenzione di somma sugli indici ripetuti due volte):

dove g_µν è il tensore metrico, e risulta g_µν(x^α). Si noti che la ben nota metrica di Minkowski

è manifestamente anti-machiana in quanto implementa un sistema di riferimento inerziale. Il passo successivo sono le equazioni di campo di Einstein che possiamo scrivere in forma compatta:

ove

(si noti il calligrafico per non confonderci con la costante di gravitazione universale G) è il tensore di Einstein. Si tratta di un ente geometrico che contiene derivate parziali (fino al secondo ordine) del tensore metrico. A secondo membro troviamo il cosidetto tensore energia-impulso che rappresenta la materia. La grandezza k è invece una costante di accoppiamento che esamineremo a breve. Abbiamo dunque un'equazione differenziale tensoriale (equivalente a 10 equazioni differenziali scalari) del secondo ordine (non lineare) nelle componenti del tensore metrico. Per quanto precede, il tensore energia impulso è il termine di sorgente. Risulta chiaro quindi, che le predette componenti della metrica rimpiazziano il potenziale gravitazionale nella teoria newtoniana. La novità è stravolgente per la semplice ragione che ora la gravità è un effetto di natura geometrica. Più precisamente, è la materia che tramite il termine di sorgente a secondo membro, dice allo spaziotempo come comportarsi. Per comportamento intendiamo (per essere un pò più rigorosi) come "incurvarsi". Ne consegue che un simile approccio rispecchia le idee machiane.
Per quanto riguarda la costante di accoppiamento, si ha:

dove G è la costante di gravitazione universale. Ma per quanto visto tale grandezza sembra essere non costante. Un approccio più realistico consisterebbe dunque, nell'introdurre un nuovo campo scalare Φ(x^α) tale che

(che sostanzialmente richiama la teoria di Brans-Dicke). A nostro avviso, tale approccio è molto interessante anche se poi contrasta il principio del rasoio di Occam, a causa dell'introduzione di un nuovo campo scalare. L'aspetto entusiasmante potrebbe essere quello offerto da una possibile quantizzazione di tale campo che potrebbe gettare una nuova luce sull'impossibile compito di formula una teoria di gravità quantistica.

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)