La teoria dei grandi numeri di Dirac

Marzo 23rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

Nel 1934 Paul Dirac (che come è noto, contribuì alla Meccanica quantistica) osservò che con grandezze relative alla microfisica e alla cosmologia, si possono determinare delle costanti adimensionali. Si parte innanzitutto da alcune costanti fisiche fondamentali, quali la carica elettrica dell'elettrone, la massa dell'elettrone e la massa del protone, nonchè la costante di gravitazione universale. Il secondo step consisten nel determinare il rapporto tra la forza coulombiana tra un elettrone e un protone, e la corrispondente forza di attrazione gravitazionale. Precisamente, con ovvio significato dei simboli

Dirac definisce poi altri due rapporti. A tale scopo definiamo alcune grandezze. Il tempo Compton di una particella di massa a riposo m, è l'intervallo di tempo in cui sono permesse violazioni della conservazione dell'energia di riposo mc² in virtù della relazione di indeterminazione tempo-energia. Quindi

La lunghezza Compton di una particella di massa a riposo m

Si noti che tali grandezze sono trascurabilmente non nulle, solo per particelle di massa estremamente piccola.
Il raggio di Schwarzschild è il raggio di un corpo di massa m tale che la sua energia di riposo è pari all'energia di auto-gravitazione. Cioè

quindi

Ciò premesso, il secondo rapporto calcolato da Dirac è il rapporto tra la lunghezza Compton del protone e il corrispondente raggio di Schwarzschild

Il terzo rapporto è tra il "raggio" dell'universo attuale c*(H0^-1), essendo H0 il valore attuale della costante di Hubble, e il raggio classico dell'elettrone

Si ottiene

Abbiamo così ottenuto tre grandi numeri adimensionali, più o meno dello stesso ordine di grandezza. Segue

Si ricordi che la costante di Hubble in realtà, è una funzione del tempo e il pedice 0 ci ricorda che si tratta del valore attuale (epoca cosmologica attuale). Precisamente, se a(t) è il parametro di espansione della metrica di Robertson-Walker, si ha

Quindi a tutti i tempi dobbiamo avere

Ne segue che almeno una delle costanti fondamentali (carica dell'elettrone, costante di gravitazione universale, etc.) deve essere funzione del tempo. Dirac congetturò G=G(t). Perciò

D'altra parte se &rho_;_0m è la densità attuale di materia barionica, deve essere (un risultato noto come "problema della piattezza dell'universo attuale"):