[¯|¯][Numeri primi] L’analisi di Riesel e Gohl (parte seconda)

[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte seconda)

Aprile 21st, 2017 | by Marcello Colozzo |

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann — **Fig. 1**

Riprendiamo l'analisi di Riesel e Gohl iniziata nel post precedente, correggendo alcune imperfezioni.
Il problema consiste nell'approssimare la funzione integrale

Più precisamente, il termine che può essere approssimato è

Cioè

Per N=N₀, dove

si ha

Dopo aver studiato l'andamento della funzione integranda g(t), scriviamo

Risulta x^1/k>1, per ogni x>0.

Riesce

giacchè g(t)>0 è per t->+oo un infinitesimo di ordine >1. Tuttavia ci si avvicina al valore 1 dell'estremo inferiore di integrazione nel limite dei grandi k:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Discutendo il comportamento dell'integrale, si ha:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

L'analisi matematica ci dice, quindi, che il contributo dominante all'integrale I(x^1/k) proviene dai "grandi" valori di k, poiché in corrispondenza di questi l'estremo inferiore di integrazione è circa 1. Viceversa, nel limite dei piccoli k è x^1/k»1 e l'integrale è trascurabilmente piccolo, in quanto la funzione integranda si annulla rapidamente.
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

L'integrale I(x) non è elementarmente esprimibile, per cui ci affidiamo a Mathematica per eseguire un'integrazione numerica. Precisamente, dopo aver generato una lista di valori:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann
si esegue un'interpolazione, ottenendo una funzione approssimata:

Quindi definiamo la funzione