[¯|¯] Riepilogo parziale sull'insieme di Cantor

Aprile 9th, 2017 | by Marcello Colozzo |

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Per non perderci per strada cerchiamo di riepilogare i risultati raggiunti. Siamo partiti dall'insieme C₀:

ovvero dall'intervallo [0,1] o ciò che è lo stesso, il segmento i cui estremi hanno ascissa 0 e 1, appartenente alla retta reale.
Dividiamo tale segmento in tre parti di pari lunghezza ossia in tre segmenti di lunghezza 1/3, dopodiché rimuoviamo il segmento centrale e chiamiamo C₁ l'insieme ottenuto (che è l'unione di due intervalli disgiunti), come mostrato in figura:

Applichiamo lo stesso procedimento ai segmenti che compongono C₁, ottenendo quattro segmenti ciascuno di lunghezza 1/9, come vediamo dalla figura:

Una suddivisione ulteriore restituisce otto segmenti ciascuno di lunghezza 1/27, come appare dalla figura:

Ripetendo un numero infinito di volte tale operazione di suddivisione, otteniamo infiniti segmenti di lunghezza infinitesima, giacché la k-esima suddivisione restituisce 2^k segmenti ciascuno di lunghezza 3^-k Poniamo

per cui

Per quanto visto

onde

In altri termini, l'insieme di Cantor è "ciò che rimane" dopo le infinite suddivisioni, i.e. infiniti segmenti di lunghezza infinitesima. D'altra parte, per il teorema dimostrato in precedenza, si ha che "ciò che rimane" è il sottoinsieme di [0,1] i cui elementi non contengono l'1 nella rappresentazione in base 3:

***

Prendiamo x₀ appartenente all'insieme di Cantor la cui espansione ternaria è

Quindi

ovvero

Abbiamo dunque trovato due espansioni ternarie distinte dello stesso elemento x₀ dell'insieme di Cantor. Tale proprietà si generalizza a ogni elemento del predetto insieme, cosicché:
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