[¯|¯] Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema
Aprile 8th, 2017 | by Marcello Colozzo |Introduciamo una particolare notazione per gli estremi degli intervalli che compongono la k-esima iterazione che porta alla definzione dell'insieme di Cantor. A tale scopo scriviamo:
Denotiamo con A(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi sinistri dei singoli intervalli I(k)j, cioè
e con B(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi destri dei predetti intervalli:
Ad esempio, per k=1
Per k=2
Per maggiore chiarezza, vedere la figura:
La k-esima iterazione definisce altri due sottoinsiemi di [0,1]:s
Cioè X(k) è l'insieme di tutti e soli i punti la cui espansione ternaria (i.e. in base 3) è di ordine k e non contiene 1.
Osservazione
In genere un'espansione in base b>1 di un reale x in (0,1) è del tipo
Si dice, invece, di ordine k, se la predetta serie è troncata al k-esimo termine:
L'altro insieme è
Ricordiamo che Δ(k) è l'ampiezza del singolo intervallo che compone la k-esima iterazione Ck:
per cui i punti di Y(k) sono i punti di X(k) traslati di Δ(k) nel verso positivo dell'asse x. Inoltre, dalla proposizione dimostrata in una lezione precedente:
Per k=1
Cioè
Per k=2
Cioè
Procedendo per induzione:
Dopo questa lunga premessa, definiamo l'insieme:
A differenza di X(k) che contiene l'espansione ternaria di ordine k dei reali in (0,1) priva dell'intero 1, l'insieme C* è la totalità delle espansioni reali (quindi di ordine arbitrario) di x in (0,1) e tale espansione non contiene l'intero 1. Dimostriamo il teorema
Teorema
Dimostrazione
Si tratta di dimostrare
Inclusione diretta
Ricordiamo che l'insieme di Cantor è per definizione:
ed è un insieme chiuso per cui
essendo D(C) il derivato di C, i.e. l'insieme dei punti di accumulazione per C. Quindi per dimostrare l'inclusione diretta occorre e basta provare che ogni elemento di C* è di accumulazione per C. Intanto vediamo che per come abbiamo definito C*, i suoi elementi sono tutti e soli aj(k) per qualunque k. Cioè
Ma
quindi
Segue
Inclusione inversa
Osserviamo che
dove il simbolo calligrafico denota il complementare in [0,1]. Evidentemente
cosicché nell'espansione ternaria di x, l'1 compare almeno una volta. Più precisamentes
Riguardo a ηi iniziamo con il dimostrare
Procediamo per assurdo
che contraddice l'ipotesi. Una seconda proprietà dei termini ηi è
Procedendo per assurdo
che contraddice l'ipotesi. Si conclude che
Ma
Segue
Cioè
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Tags: insieme di cantor, insieme perfetto, insieme ricorsivo, misurabilità dell'insieme di cantor
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